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Teoria Quântica de Campo

Curso 2011-2012, por Miguel Sousa Costa
Aula nº 1 de 22/02/2012 (parte1, parte2, parte3)
Descrição do programa da disciplina e algumas considerações acerca da importância da Teoria Quântica de Campo. Revisão da quantificação canónica, representação de Heisenberg e representação de Schrodinger. O comprimento de Compton como distância onde efeitos associados à existência de estados com número variável de partículas se tornam importantes. Mecânica Quântica e Causalidade: cálculo da amplitude para partícula livre propagar a uma velocidade superior à da luz, verificando que violação de causalidade também ocorre na versão relativista do cálculo.

 

Aula nº 2 de 23/02/2012 (parte1, parte2, parte3)
Simetrias e Grupos de Lorentz e Poincaré: acção de uma simetria na função de onda e nos operadores em Mecânica Quântica e correspondente constante de movimento; geradores das transformações contínuas e álgebra de Lie; os grupos das translações e das rotações como exemplos já conhecidos de Mecânica Quântica. Generalização dos conceitos introduzidos na aula anterior para o caso das transformações de Lorentz, geradores como operadores diferenciais e sua álgebra de Lie, acção dos geradores no espaço dos vectores; o grupo de Poincaré, sua algebra e invariantes de Casimir - a massa e o spin das partículas. Mecânica Quântica Relativista. Equação de Klein-Gordon: estados de energia positiva e negativa; corrente conservada; norma e produto escalar relativistas.

 

Aula nº 3 de 24/02/2012 (parte1)
Continuação da aula anterior: O paradoxo de Klein. Equação de Dirac: argumentação eurística para introduzir a equação de Dirac, as matrizes gama; acção dos geradores do grupo de Lorentz nos spinors de Dirac e invariância de Lorentz; bi-lineares; corrente conservada; norma e produto escalar relativistas. Soluções da equação de Dirac do tipo de onda plana e estados de energia positiva e negativa; mar de Dirac e previsão da existência de anti-matéria (positrão).

 

Aula nº 4 de 28/02/2012 (video)
Continuação da aula anterior: acção do grupo das rotações nas funções de onda, justificando resultados já conhecidos da Mecânica Quântica não-relativista no caso de partículas de spin 1/2; acoplamento ao campo electromagnético e razão giromagnética do electrão. A equação de Dirac para partículas sem massa - os neutrinos. Teoria Quântica de Campo. Vibrações Elásticas e Limite Contínuo: análise de um sistema mecânico unidimensional composto por uma cadeia de molas e sua quantificação canónica; limite contínuo deste sistema, do seu Lagrangeano, das equações de movimento, do momento conjugado e das relações de comutação canónicas. Da passagem da Mecânica Clássica à Mecânica Quântica através da quantificação, e da passagem da Mecânica Clássica à Teoria de Campo Clássica através do limite contínuo, inferimos a necessidade de formular uma Teoria Quântica de Campo através do limite contínuo da Mecânica Quântica. Pensar equações de Klein-Gordon e de Dirac como análogas às equações de Maxwell, e portanto, das respectivas funções como campos escalar e de Dirac e não como funções de onda de uma partícula.

 

Aula nº 5 de 29/02/2012
Formulação Lagrangeana e Teorema de Noether: revisão das equações de Euler-Lagrange derivadas pelo método variacional, lagrangeano para os campos escalar e de Dirac; o teorema de Noether e sua demonstração; o tensor impulsão energia como corrente associada à invariância da teoria quando sujeita a translações e conservação do 4-momento do campo; a generalização relativista para a conservação do momento angular do campo como carga conservada associada às transformações de Lorentz; transformações padrão; exemplos de campo escalar e de Dirac. Quantificação canónica do campo escalar: as relações de comutação e as equações de Heisenberg; operador 4-momento do campo como gerador das translações; cargas conservadas como geradores das transformações associadas e sua acção nos operadores de campo.

 

Aula nº 6 de 01/03/2012 (parte 1, parte 2)
Continuação da aula anterior: operadores de criação e destruição; relações de comutação dos operadores de criação e de destruição com o operador 4-momento; identificação dos estados de partículas e construção do espaço de Fock. Ordem normal e remoção de infinito na energia do vácuo. Invariância relativista das relações de comutação; causalidade da teoria que contrasta com problema inicialmente encontrada para a Mecânica Quântica Relativista; representação do comutador do operador de campo como integral no plano complexo da frequência dos modos do campo.

 

Aula nº 7 de 02/03/2012 (parte 1, parte 2)
Criação de partículas por uma fonte clássica, estudo detalhado da função de Green retardada e transformações de Bogoliubov. Definição do propagador de Feynman, sua representação como integral no plano complexo e respectiva equação diferencial, interpretação física como amplitude de transição. Efeito Casimir.

 

Aula nº 8 de 06/03/2012 (parte 1, parte 2)
Quantificação do campo escalar complexo: partículas e anti-partículas. Radiação de Hawking: base de soluções da equação de Klein-Gordon em espaços curvos; quantificação do campo escalar; transformações de Bogoliubov; calculo destes coeficientes para o caso de espaço tempo que descreve colapso gravítico de uma estrela para um buraco negro no caso simples de simetria esférica e consequente dedução da temperatura de Hawking para o buraco negro de Schwarzschild.

 

Aula nº 9 de 07/03/2012 (parte 1, parte 2)
Quantificação canónica do campo de Dirac: as relações de anti-comutação e as equações de Heisenberg para os operadores de campo; os operadores 4-momento e carga do campo; o espaço de Fock; o princípio de exclusão de Pauli; o propagador de Feynman para o campo de Dirac.

 

Aula nº 10 de 08/03/2012
Resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas levantadas pelos estudantes.

 

Aula nº 11 de 09/03/2012
Revisão da teoria clássica do campo electromagnético e determinação do tensor impulsão-energia com invariância padrão. Quantificação do campo electromagnético no padrão de Coulomb: relações de comutação e as equações de Heisenberg para os operadores de campo; construção do espaço de Fock associado aos estados de polarização físicos dos fotões; o operador 4-momento do campo. Quantificação do campo electromagnético no padrão de Lorentz: relações de comutação covariantes e a quantificação de Gupta-Bleuler; as equações de Heisenberg para os operadores de campo; polarizações longitudinais, escalares e transversais.

 

Aula nº 12 de 13/03/2012 (parte1, parte 2)
Continuação da aula anterior: construção do espaço de Hilbert físico - implementação da condição de Gupta-Bleuler e estados supérfluos; o propagador de Feynman no padrão de Lorentz. Interacções. Introdução: termos de interacção no lagrangeano que são locais e não alteram as relações de comutação, a teoria phiˆ4 como caso a estudar em detalhe neste curso; exemplos da Electrodinâmica Quântica e da teoria de Yukawa; comentário relativo ao número limitado de termos de interacção que serão compatíveis com a renormalização da teoria. A representação das interacções como representação intermédia entre as representações de Heisenberg e de Schrodinger. O operador de evolução na representação das interacções.

 

Aula nº 13 de 14/03/2012 (parte1, parte2, parte3)
Cálculo do propagador de Feynman (função de correlação de 2-pontos) na representação das interacções, apropriada para efectuar cálculos perturbativos. Generalização do resultado para função de correlação de N-pontos. Teorema de Wick: importância deste teorema para o cálculo de funções de correlação e sua demostração. Diagramas de Feynman: cálculo do propagador de Feynman em primeira ordem na teoria de perturbações; resultado conduz às denominadas regras de Feynman, incluindo factores de simetria associados aos diagramas.

 

Aula nº 14 de 15/03/2012 (parte1, parte2)
Continuação da aula anterior: verificação de que somente diagramas conexos contribuiem para o cálculo do propagador de Feynman em primeira ordem. Generalização para o caso de funções de correlação de N pontos. (Num exercício foram verificadas as regras de Feynman no caso do cálculo do propagador de Feynman em segunda ordem na teoria de perturbações.) Funções de correlação no espaço dos momentos e dedução das respectivas regras de Feynman; exemplo do propagador. Exercícios com cálculo de diagramas de Feynman (função de 4 pontos na teoria de phi^4 e funções de 2, 3 e 4 pontos na teoria de phy^3).

 

Aula nº 15 de 16/03/2012 (parte1, parte2)
Matriz-S: estados assimptóticos, matriz-S e a matriz de transição T; relação do campo de Heisenberg com o campo assimptótico da teoria livre - a constante de normalização do campo; representação espectral do propagador e sua singularidade à volta do polo físico devido aos estados de uma partícula. Cálculo perturbativo do propagador de Feynman em termos de diagramas de uma partícula irredutívies, cálculo perturbativo da renormalização da massa e da constante de normalização do campo.

 

Aula nº 16 de 20/03/2012 (parte1, parte2)
Dedução das formulas de redução de Lehmann, Symanzik e Zimmermann para o cálculo da matriz-S. Cálculo da secção eficaz de difusão para o processo de difusão 2 -> 2 em termos da matriz de transição e exemplo da teoria phiˆ4.

 

Aula nº 17 de 21/03/2012
Resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas levantadas pelos estudantes.

 

Aula nº 18 de 22/03/2012 (parte1,parte2)
Demonstração de que os potenciais de Yukawa e de Coulomb surgem devido à troca de uma partícula escalar com massa e sem massa, respectivamente; cálculo do tempo de decaimento de uma partícula instável. Teorema óptico; aplicação ao cálculo da secção eficaz de difusão total; relação do tempo de vida de uma partícula com a parte imaginária da sua massa física - analogia com a formula de Breit-Wigner no contexto da Mecânica Quântica não-relativista.

 

Aula nº 19 de 23/03/2012 (parte1, parte2)
Invariância padrão local e o Lagrangeano de QED. Funções de correlação e teorema de Wick na presença de campos fermiónicos e vectorias. Regras de Feynman para a teoria de Yukawa.

 

Aula nº 20 de 27/03/2012 (parte1, parte2)
Continuação da aula anterior: formula de redução LSZ na presença de fermiões e verificação que o potencial de Yukawa é sempre atractivo quando associado à troca de uma partícula escalar. Regras de Feynman para QED e o potencial de Coulomb atractivo (entre partículas da mesma carga) e repulsivo (entre partículas de carga oposta). Processos elementares em QED: criação de pares de muões (ou taus) através da difusão electrão/positrão.

 

Aula nº 21 de 28/03/2012 (parte1, parte2)
Continuação da aula anterior: produção de pares quark/anti-quark e evidência para existência da cor. Simetria de troca de canal e difusão electrão/muão; Difusão de Compton, a identidade de Ward, fórmula de Thompson no limite de baixas energias.

 

Aula nº 22 de 29/03/2012 (parte1, parte2)
Continuação da aula anterior: criação de pares de fotões através da difusão electrão/positrão. Simetria padrão não Abeliana e a Cromodinâmica Quântica, o modelo de partões e a difusão inelástica electrão/protão, o regime de Bjorken.

 

Aula nº 23 de 10/04/2012
Resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas levantadas pelos estudantes.

 

Aula nº 24 de 23/04/2012
Resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas levantadas pelos estudantes.

 

Aula nº 25 de 24/04/2012 (parte1, parte2, parte3)
Renormalização. O propagador de Feynman e a rotação de Wick: cálculo explícito do propagador de Feynman utilizando a rotação de Wick; análise da divergência do propagador para pequenas distâncias. Vertices próprios: definição de vertices próprios através de diagramas irredutíveis de uma partícula; vertíces próprios como quantidades fundamentais para determinar funções de correlação e divergências da teoria. Divergências e teorias renormalizáveis: análise das divergências da teoria phiˆ4; grau de divergência superficial, teoria renormalizáveis, super-renormalizáveis e não-renormalizáveis.

 

Aula nº 26 de 26/04/2012
Resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas levantadas pelos estudantes.

 

Aula nº 27 de 02/05/2012 (parte1, parte2)
Regularização e Renormalização: os diferentes métodos de regularização; regularização e renormalização da teoria phiˆ 4 utilizando um majorante ("cut-off") no espaço dos momentos, em segunda ordem na teoria de perturbações; a dependência do acoplamento com a energia dos estados externos e referência a fenómeno análogo em QED e QCD.

 

Aula nº 28 de 03/05/2012 (parte1, parte2)
Regularização e renormalização da teoria phiˆ 4 utilizando o método dimensional. O teorema óptico para o cálculo do tempo de vida de uma partícula instável através da análise da parte imaginária da sua massa física foi verificado.

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